Materi Lengkap Sistem Persamaan Linear 3 Variabel | kelas 10 SMA

Materi Lengkap Sistem Persamaan Linear 3 Variabel | SMA kelas 10 | Jika kalian saat ini sedang berada di kelas 10 SMA semester 1 atau semester 2 maka kalian akan berhadapan dengan materi matematika Sistem Persamaan Linear 3 Variabel (spltv). Materi Lengkap Sistem Persamaan Linear 3 Variabel ini sangat penting untuk dipahami karena cukup mengasah logika penyelesaian masalah bagi siswa SMA.

  

Ada banyak sistem persamaan dalam cabang  ilmu matematika, salah satunya sistem persamaan linear. Persamaan linear sendiri merupakan sebuah persamaan aljabar. Sistem persamaan linear yaitu kumpulan persamaan yang terbentuk dari beberapa variabel, diantaranya, variabel tunggal, dua variabel, dan tiga variabel yang memiliki pangkat tertinggi 1. Bagi kamu, siswa kelas sepuluh Sekolah Menengah Atas, pasti mempelajari sitem persamaan ini pada mata pelajaran matematika. Yuk simak uraian berikut, agar kamu lebih paham tentang sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)!

Bentuk Umum dari Sistem persamaan linear tiga variabel

Adapun bentuk umum dari sistem persamaan ini ialah:

ɑ₁x + b₁y + c₁z = d₁

ɑ₂x + b₂y + c₂z = d₂

ɑ₃x + b₃y + c₃z = d₃

Dimana ɑ₁,  ɑ₂,  ɑ₃ menjadi koefisien dari x,  b₁ , b₂,  b₃ merupakan koefisien y, dan c₁,  c₂,  c₃ adalah koefisien dari z. Nilai d₁, d₂,  d₃ ialah konstanta, sedangkan  x, y, dan z merupakan variabel.

Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Ada tiga metode yang biasanya digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, yakni subtitusi, eliminasi, dan campuran.

Subtitusi

Terdapat beberapa langkah yang digunakan guna menyelesaikan SPLTV dengan menggunakan metode subtitusi, yaitu:

1. Pilih salah satu persamaan, selanjutnya nyatakan x sebagai fungsi dari y dan z, atau sebaliknya, y menjadi fungsi x dan z, bisa juga z  menjadi fungsi x dan y.
2. Selanjutnya, nilai x atau y atau z yang didapatkan pada langkah sebelumnya, disubtitusikan ke dua persamaan yang lain sehingga sistem persamaan linear dua variabel diperoleh.
3. Selesaikan nilai yang diperoleh pada langkah ke dua
4. Kemudian, nilai yang telah diperoleh pada langkah ketiga disubtitusikan dengan salah satu persamaan di awal agar diperoleh nilai dari variabel ketiga.

Contoh soal:

  x+ y + 2z = 0     

  x – y + z = 4

  3x + 2y + z = 2

Penyelesaian:

     x+ y + 2z = 0…………….(1)

     x – y + z =4………………(2)

     x – 3x + 2y + z = 2……….(3)

Persamaan (2) diubah menjadi x = 4 + y – z………..(4)

Subtitusikan persamaan (4) ke persamaan (1):

x+ y + 2z = 0

(4 + y - z) + y + 2z = 0

4 + y – z + y + 2z = 0

2y + z = -4

z = -4 – 2y………..(5)

Subtitusikan persamaan (4) ke persamaan (3):

3x + 2y + z = 2

3 (4 + y - z) + 2y + z = 2

12 + 3y – 3z + 2y + z = 2

5y – 2z = -10……….(6)

Subtitusikan persamaan (5) ke persamaan (6):

5y – 2z = 10

5y – 2 (-4 – 2y) = -10

5y + 8 + 4y = -10

9y = -18

y = -2

Subtitusikan persamaan y = -2 ke persamaan (5):

Z = -4 – 2y

-4 – 2(-2)

z = -4 + 4

z = 0

Eliminasi

Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan memakai metode  eliminasi ialah sebagai berikut:

1. Salah satu variabel x, y, atau z harus dieliminasi sehingga ditemukan sistem persamaan linear dua variabel.
2. Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan mengeliminasi variabel kedua untuk menemukan nilai dari variabel ketiga, atau sebaliknya, mengeliminasi variabel ketiga untuk mendapatkan nilai dari variabel kedua.
3. Mengulangi langkah 1 dan 2  dengan pilihan variabel yang tidak sama sehingga menemukan nilai dari ketiga variabel.

Contoh soal:

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Penyelesaian:

x + y + 2z = 9………….(1)

2x + 4y – 3z = 1……….(2)

3x + 6y – 5z = 0……….(3)

Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sampai ditemukan:

Gabungan (Eliminasi dan Subtitusi)

Metode gabungan yaitu cara mencari sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode eliminasi dan subtitusi.

Contoh soal:

x + y + 2z = 9

2x + 4y – 3z = 1

3x + 6y – 5z = 0

Penyelesaian:

 x + y + 2z = 9………….(1)

2x + 4y – 3z = 1………..(2)

3x + 6y – 5z = 0………..(3)

Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sampai ditemukan:

Subtitusi y = 2 ke persamaan (5) sampai ditemukan:

x + 2y = 5

x + 2(2) = 5

x + 4 = 5

x = 1

Subtitusi x = 1dan y = 2  ke persamaan (1) sampai ditemukan: 

x + y + 2z = 9

1 + 2 + 2z = 9

3 + 2z = 9

2z = 6

z = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(1,2,3)}

    Sistem persamaan linear tiga variabel, di kenal dengan simbol x, y, dan z di dalam Matematika. Setiap persamaan dengan bentuk ɑx + by + cz = d dimana ɑ, b, dan c merupakan konstanta dan nilainya tidak nol, maka itulah yang disebut dengan sistem persamaan linear tiga variabel. Sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan menggunakan tiga metode, yaitu subtitusi, eliminasi dan campuran.