Materi Lengkap Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat kelas 10 SMA

Materi Lengkap Persamaan dan Pertidaksamaan kuadrat kelas 10 SMA | Jika kalian saat ini sedang berada di kelas 10 SMA semester 1 atau semester 2 maka kalian akan berhadapan dengan materi matematika Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat. Materi persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat ini sangat penting untuk dipahami karena pada bab ini kita akan mengerti tentang bilangan maupu variabel berpangkat dua, bagaimana? Simak penjelasan ini hingga akhir maka kalian akan menemukan jawabannya.

Pada pembahasan ini, akan dibahas mengenai beberapa hal berikut ini :

• Pengertian persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
• Persamaan kuadrat
• Pertidaksamaan kuadrat
• Contoh Soal dan Jawaban Persamaan Kuadrat
• Contoh Soal dan Jawaban Pertidaksamaan Kuadrat
• Latihan Soal Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
• Kesimpulan/Penutup

Jika teman-teman belum mengerti apa itu persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, maka hal itu tidak menjadi hambatan. Teman-teman telah menemukan artikel yang tepat karena yang teman-teman cari insyaallah ada di sini.

Artikel ini akan membahas pengetahuan umum seputar persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, dijelaskan dengan rinci dan menampilkan contoh soalnya. diharapkan setelah membaca artikel ini teman-teman bisa menguasai materi. Artikel ini ditulis secara singkat dan sederhana guna menyampaikan poin penting dalam memecahkan persoalan matematika tersebut.

Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat didefinisikan sebagai suatu pernyataan hubungan dua hal yang memiliki nilai sama dan disimbolkan dengan simbol sama-dengan (=) serta memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

Bentuk Umum persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum, yaitu: ax² + bx + c = 0
Keterangan:

• a,b dan c adalah bilangan riil dan a ≠ 0

• a adalah koefisian dari x2

• b adalah koefisien dari x

• c adalah konstanta

• x adalah variabel

Misal: x² - x – 6 = 0
Jika dalam bentuk ax² + bx + c = 0, maka x² - x – 6 = 0 berarti 1 adalah koefisien dari x², -1 koefisien dari x, dan -6 adalah konstanta.

Contoh lain:

• x² - 4 = 0. nilai a = 1, b = 0, c = -4
• x² + 4x = 0. nilai a = 1, b = 4, c = 0
• x² - 4x + 2 = 0. nilai a = 1, b = -4, c = 2
• 3x² + 4x = 0. nilai a = 3, b = 4, c = 0
• 2x² -x + 2 = 0. nilai a = 2, b = -1, c = 2

Ada beberapa macam nama terhadap beberapa bentuk persamaan kuadrat, sebagai berikut:

• Jika a = 1 maka persamaan menjadi ax² + bx + c = 0. Persamaan kuadrat dengan bentuk ini dinamakan persamaan kuadrat biasa.
• Jika b = 0 maka persamaan menjadi ax² + c = 0. Persamaan kuadrat dengan bentuk ini dinamakan persamaan kuadrat sempurna.
• Jika c = 0 maka persamaan menjadi ax² + bx = 0. Persamaan kuadrat dengan bentuk ini dinamakan persamaan kuadrat tak lengkap.
• Jika nilai a, b, dan c merupakan bilangan real, maka ax² + bx + c = 0 disebut sebagai persamaan kuadrat real.
• Jika nilai a, b, dan c merupakan bilangan rasional, maka ax² + bx + c = 0 disebut sebagai persamaan kuadrat rasional.

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat

Cara mudah dalam menyelesaikan persamaan kuadrat adalah menentukan solusi atau pengganti variabel yang berupa nilai, sehingga persamaan tersebut bernilai benar.

Nilai-nilai yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat yang dikenal dengan akar persamaan kuadrat.

Ada beberapa cara dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu:

• Memfaktorkan
• Melengkapkan kuadrat sempurna (diubah bentuk menjadi kuadrat sempurna)
• Menggunakan rumus kuadrat
• Menggambarkan grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c

Pada pembahasan kali ini akan dibahas mengenai 3 dari 4 cara di atas, yaitu cara memfaktorkan, cara melengkapkan kuadrat sempurna, dan cara menggunakan rumus kuadrat.

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara memfaktorkan

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat kita dapat menggunakan cara pemfaktoran. Cara ini memanfaatkan salah satu sifat yang berlaku dalam bilangan real. Sifat itu dapat dinyatakan sebagai berikut:

Jika a, b, ϵ R (a dan b anggota himpunan bilangan real) dan berlaku a × b = 0. Maka nilai a = 0 atau nilai b = 0.

Dengan catatan sebagai berikut:

1. Jika dimaknai nilai a = 0 dan nilai b ≠ 0

2. Jika dimaknai nilai b = 0 dan nilai a ≠ 0

3. Jika dimaknai nilai a = 0 dan nilai b = 0

Contoh soal dan pembahasan:

x² - 7x + 10 = 0

Jawab:

x² - 3x - 10 = 0

Kita ubah bentuk persamaan di atas, menjadi :

(x - 5) (x + 2) = 0

Kita bisa menganggap bahwa (x - 5) = a dan (x + 2) = b pada sifat perkalian bilangan real. Sehingga menghasilkan nilai:

(x - 5) = 0 atau (x + 2) = 0

x = 5 atau x = -2

Jadi, Penyelesaian atau akar-akarnya adalah x1 = 5 dan x2 = -2. Dalam bentuk himpunan penyelesaian dituliskan dengan, HP {5, -2}.

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna (diubah bentuk menjadi kuadrat sempurna)

Dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat melalui cara melengakapkan kuadrat sempurna dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a) Mengubah persamaan kudrat semula menjadi bentuk berikut:

(x + p)² = q dengan syarat q ≥ 0.

b.) Menentukan akar – akar persamaan kuadrat

(x + p) = ±√q

x = ±√q - p

Contoh soal dan pembahasan:

x² - 4x -2 = 0

Jawab:

x² - 4x -2 + 4 - 4 = 0

(x² - 4x + 4) -2 - 4 = 0

(x - 2)² - 6 = 0

(x - 2)² = 6

(x - 2) = ±√6

(x - 2) = √6 atau (x - 2) = -√6

x = 2 + √6 atau x = 2 - √6

Jadi, akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat di atas adalah x1 = 2 + √6 dan x2 = 2 - √6. Ditulis HP = {2 + √6, 2 - √6).

Baca Juga : Materi Lengkap Matematika Wajib Kelas 10 SMA Kurikulum 2013 | Rangkuman Singkat

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara rumus kuadrat abc

Misalkan, a, b, dan c merupakan bilangan real dan a ≠ 0. Maka, akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 ditentukan oleh:

Contoh soal dan pembahasan:

x² - 6x + 8 = 0

Jawab:

Dengan koefisien sebagai berikut:

a = 1, b = -6, c = 8

Jadi, akar-akarnya adalah x1 = 2 atau x2 = 4

Diskriminan Persamaan Kuadrat

Jenis - jenis akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan nilai diskriminan D = b² - 4ac

1. Jika nilai diskriminan lebih besar dari 0, D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang berlainan.

a. Jika D berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya rasional.

b. Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna, maka kedua akarnya irrasional.

2. Jika D = 0 maka akar persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama (akar kembar) real dan rasional.

3. Jika D < 0 maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).

Contoh:

2x² - 5x + 2 = 0

Jawab:

2x² - 5x + 2 = 0

Dengan koefisien sebagai berikut:

a = 2, b = -5, c = 2

Maka nilai diskriminannya adalah:

D =  b² - 4ac

D = (-5)² - 4(2)(2)

D = 25 - 16

D = 9

Karena nilai D > 0 dan D = 9 = 3² berbentuk kuadrat sempurna maka persamaan kuadrat 2x² - 5x + 2 = 0 mempunyai dua akar real yang berlainan dan rasional.

Jumlah dan Hasil Kali Akar - Akar Persamaan Kuadrat

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas mengenari cara menentukan akar - akar persamaan kuadrat. Sedangkan pada pembahasan sub-bab ini akan menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki akar-akar penyelesaian x1 dan x2.

x1 + x2 = - b/a

Jadi, rumus persamaan akar-akar kuadrat adalah x1 + x2 = - b/a

Rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:

Jadi, rumus hasil kali persamaan akar-akar kuadrat adalah x1 . x2 = c/a

Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat

1. Tentukan akar-akar penyelesaian persamaan kuadrat dari x² - 9 = 0

x2 -  9 = 0

x2 -  (3)2 = 0

Ingat sebuah persamaan dasar matematikan bahwa:

a2 - b2 = (a + b)(a - b)

Maka:

(x + 3) (x - 3) = 0

x + 3 = 0 atau x - 3 = 0

x = -3 atau x =3

Jadi, akar-akar penyelesaian persamaan kuadratnya adalah (-3,3)

2. Tentukan penyelesaian dari x² - x – 6 = 0

x² - x – 6 = 0

(x + 2) (x - 3) = 0

x + 2 = 0 atau x – 3 = 0

x = -2 atau x = 3

Jadi, penyelesaiannya adalah (-2,3)

3. Tentukan akar - akar penyelesaian dari x² - 4x + 3 = 0

Jawab:

x² - 4x + 3 = 0

(x - 3)(x -1) = 0

x -3 = 0 atau x -1 = 0

x = 3 atau x = 1

Penyelesaian tiga contoh tersebut menggunakan cara pemfaktoran. Pemfaktoran atau faktorisasi adalah menyatakan penjumlahan suku-suku bentuk aljabar menjadi bentuk perkalian faktor-faktor. Memfaktorkan persamaan kuadrat  dengan cara membuat persamaan kuadrat menjadi perkalian dua persamaan linear.

Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat

Pertidaksamaan Kuadrat didefinisikan sebagai suatu pernyataan hubungan dua hal yang dihubungkan dengan simbol pertidaksamaan (>, <, ≤, ≥) serta memuat variabel dengan pangkat positif dan memiliki pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat

ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c < 0

ax² + bx + c ≤ 0

ax² + bx + c ≥ 0

Dengat catatan:

a ≠ 0 dan a, b, c ϵ R

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, kita dapat menggunakan cara yang digunakan pada persamaan kuadrat yang telah kita bahas di atas.

Ada beberapa cara dalam menentukan akar-akar pertidaksamaan kuadrat, yaitu:

• Memfaktorkan
• Melengkapkan kuadrat sempurna (diubah bentuk menjadi kuadrat sempurna)
• Menggunakan rumus kuadrat
• Menggambarkan grafik fungsi f(x) = ax² + bx + c
• Garis bilangan

Pada pembahasan kali ini akan dibahas mengenai 2 dari 5 cara di atas, yaitu menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dan garis bilangan.

Baca Juga : Materi Lengkap Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak kelas 10 SMA

Menyelesaikan Pertidaksamaan Kuadrat dengan Menggunakan Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat yang ditentukan dengan rumus f(x) = ax² + bx + c misalnya pada f(x) = x² - 3x - 4 grafiknya berbentuk parabola dengan persamaan y = x² - 3x - 4. Sketsa grafik parabola y = x² - 3x - 4 digambarkan sebagai berikut:

1. Parabola di atas sumbu x (y > 0) dalam selang x < -1 atau x > 4

jadi x² - 3x - 4 > 0 dalam selang x < -1 atau x > 4.

2. Parabola tepat pada sumbu x (y = 0) untuk nilai x = -1 atau x = 4.

Jadi, x² - 3x - 4 = 0 untuk nilai x = -1 atau x = 4.

3. Parabola di bawah sumbu x (y < 0) dalam selang -1 < x < 4.

Jadi, x² - 3x - 4 < 0 dalam selang -1 < x < 4.

Dengan demikian, sketsa grafik fungsi kuadrat f(x) = x² - 3x - 4 atau parabola y = x² - 3x - 4 dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut:

a. Pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4 < 0. Himpunan penyelesaiannya:

HP = {x | -1 < x < 4, x ϵ R}

b. Pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4 ≤ 0. Himpunan penyelesaiannya:

HP = {x | -1 ≤ x ≤ 4, x ϵ R}

c.Pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4  > 0. Himpunan penyelesaiannya:

HP = {x | x < -1 atau x > 4, x ϵ R}

d. Pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4 ≥ 0. Himpunan penyelesaiannya:

HP = {x | x ≥ -1 atau x ≥ 4, x ϵ R}

Berdasarkan uraian yang kita bahas di atas, dapat disimpulkan bahwa grafik fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c = 0 atau parabola y = ax² + bx + c dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≤ 0;  ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c ≥ 0.

Secara umum, penyelesaian atau himpunan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan sketsa grafik fungsi kuadrat dapat ditentukan melalui langkah-langkah:

1. Gambar sketsa grafik kuadrat f(x) = ax² + bx + c atau parabola y = ax² + bx + c jika ada carilah titik-titik potong dengan sumbu x.

2. Berdasarkan sketsa grafik yang diperoleh dari langkah 1 kita dapat menetapkan selang atau interval yang memenuhi pertidaksamaan kuadrat ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c  < 0, ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c ≥ 0.

Menyelesaikan Pertidaksamaan dengan Menggunakan Garis Bilangan

Dalam hal sub-bab ini kita akan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan garis bilangan. Sebagai contoh, kita akan menentukan sebuah penyelesaian pertidaksamaan kuadrat x² - 3x - 4 > 0.

Langkah - langkah yang diperlukan sebagai berikut:

1. Carilah nilai-nilai nol (jika ada) dari bagian ruas kiri pertidaksamaan

x² - 3x - 4 = 0

(x + 1)(x - 4) = 0

x = -1 atau x = 4

2. Gambarlah nilai nilai nol yang diperoleh pada langkah 1 pada garis bilangan.

3. Kita harus menentukan tanda-tanda dalam interval untuk nilai-nilai x selain -1 dan 4, misalnya:

• x = -2 maka nilai dari x² - 3x - 4 = (-2)² - 3(-2) - 4 = 6 sehingga tanda dalam interval adalah  x < -1, x anggota bilangan positif, atau x > 0.
• x = 1 maka nilai dari x² - 3x - 4 = (1)² - 3(1) - 4 = -6 sehingga tanda dalam interval -1 < x < 4, 1, atau x < 0
• x = 5 maka nilai dari x² - 3x - 4 = (5)² - 3(5) - 4 = 6 sehingga tanda dalam interval x > 4, x bilangan positif, atau x > 0.

4. Berdasar tanda-tanda interval, maka yang memenuhi pertidaksamaan x² - 3x - 4 > 0 adalah x < -1 atau x > 4.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x| x < -1 atau x > 4, x ϵ R}.

Secara umum penyelesaian pertidaksamaan kuadrat ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≤ 0;  ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c ≥ 0 dapat ditentukan dengan menggunakan diagram garis bilangan melalui langkah-langkah sebagai berikut:

1. Carilah nilai – nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri pertidaksamaan

ax² + bx + c = 0

2. Gambarlah nilai nol itu pada diagram garis bilangan sehingga diperoleh interva - interval.

3. Tentukan tanda – tanda interval dengan cara mensubstitusikan nilai-nilai uji yang berada dalam masing-masing interval.

4. Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh dari langkah 3 kita dapat menetapkan interval yang memenuhi.

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat kita perlu mencermati adanya beberapa bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat. Ada 2 macam bentuk khusus dari suatu bentuk kuadrat yaitu:

1. Definit positif, yaitu bentuk kuadrat ax² + bx + c > 0 berlaku untuk semua ϵ R. Bentuk ax² + bx + c disebut definit positif jika a > 0 dan D < 0.

2. Definit negatif, yaitu bentuk kuadrat ax² + bx + c > 0 berlaku untuk semua ϵ R. Bentuk ax² + bx + c disebut definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

Setelah membaca dan menelaah keseluruhan materi di atas, diharapkan pembaca sekalian dapat memahami dan menyerap keseluruhan materi.

Demikian adalah pemaparan mengenai Materi Lengkap Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat kelas 10 SMA. Jika teman-teman ada yang kurang paham bisa bertanya melalui kolom komentar ya.