Materi Lengkap Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak kelas 10 SMA

Materi Lengkap Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak kelas 10 SMA | Jika kalian saat ini sedang berada di kelas 10 SMA semester 1 maka kalian akan berhadapan dengan materi matematika Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak linear satu variabel. Materi Nilai Mutlak ini sangat penting untuk dipahami karena pada bab ini kita akan mengerti bahwa ada suatu nilai dimana nilainya selalu positif. Kok bisa selalu positif, bagaimana? Simak penjelasan ini hingga akhir maka kalian akan menemukan jawabannya.

Pada pembahasan ini, akan dibahas mengenai beberapa hal berikut ini :

• Pengertian
• Penerapan Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari
• Definisi Nilai Mutlak
• Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
• Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
• Contoh Soal dan Jawaban Nilai Mutlak
• Latihan Soal Nilai Mutlak
• Kesimpulan/Penutup

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Setelah membaca artikel ini hingga tuntas, teman-teman diharapkan bisa menguasai pengetahuan konseptual dan prosedural mengenai materi nilai mutlak serta kaitannya dengan bab yang lain.

Pengertian

Persamaan merupakan suatu pernyataan matematika yang menyatakan dua hal adalah sama dan dua hal tersebut dihubungkan dengan simbol sama dengan (=).

Pertidaksamaan adalah kalimat/pernyataan dalam matematika yang menujukkan perbandingan dua buah objek atau lebih dan dihubungkan oleh satu dari beberapa simbol berikut :

• < (kurang dari)
• > (lebih dari)
• ≤ (kurang dari atau sama dengan)
• ≥ (lebih dari atau sama dengan)

Pertidaksamaan juga bisa kita maknai dengan sebuah pernyataan yang memuat simbol ketidaksamaan di atas.

Nilai Mutlak adalah nilai suatu bilangan riil yang dihitung dari jarak bilangan itu dengan nol (0), sehingga bilangan yang dinilaimutlakkan selalu bernilai positif. Dapat juga dikatakan bahwa nilai mutlak adalah suatu bilangan real tanpa tanda positif (+) atau negatif (-).  Nilai mutlak dinotasikan dengan dua kurung lurus ("| |") dengan bilangan dan/atau variabel di dalamnya, misalnya |x| atau |4| atau |x - 2|.

Variabel merupakan lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas.

Bilangan bulat merupakan bilangan yang merupakan himpunan (kumpulan) dari semua bilangan yang bukan pecahan. Perlu kita pahami bahwa terdapat bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol. Bilangan bulat juga merupakan himpunan dari bilangan real.

Persamaan linear adalah suatu pernyataan matematika yang menyatakan dua hal adalah sama dan dua hal tersebut dihubungkan dengan simbol sama dengan (=) serta pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu.

Pertidaksamaan linear adalah sebuah pernyataan yang memuat simbol pertidaksamaan (<, >, ≤, dan ≥) dan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah satu.

Baca Juga : Materi lengkap matematika wajib kelas 10 SMA

Penerapan Nilai Mutlak dalam Kehidupan Sehari-hari

Ada beberapa hal dalam kehidupan sehari-hari yang dapat kita jadikan contoh penerapan nilai mutlak yang seringkali tidak kita sadari. Misalnya, Andi dan Budi sedang berada di pos kamling yang dianggap sebagai titik nol. Lalu, Andi berjalan 7 langkah ke kanan sedangkan Budi berjalan berlawanan arah dengan Andi, yaitu 7 langkah ke kiri. Karena nilai mutlak dihitung dari jarak bilangan itu dengan nol (0), maka mereka memiliki nilai yang sama, yaitu 7. Jarak selalu bernilai positif. Dalam matematika, kita menggunakan nilai mutlak.

Contoh lainnya, Andi memiliki uang Rp 100.000 sedangkan Budi memiliki uang Rp 60.000. Berapakah selisih uang mereka berdua? Kita bisa menuliskan |100.000 - 60.000| atau |60.000  - 100.000| karena keduanya akan menghasilkan nilai yang sama, yaitu Rp 40.000.

Untuk penjelasan lengkap bagaimana hal tersebut bisa terjadi akan dijelaskan pada pemaparan di bawah ini. Mohon simak dengan baik dan saksama ya teman-teman agar tidak ada bagian yang kurang paham.

Definisi Nilai Mutlak

Dalam matematika kita akan mengenal sebuah konsep dimana terdapat sesuatu yang selalu bernilai positif (tidak memiliki nilai negatif) yang disebut sebagai nilai mutlak. Nilai mutlak dinotasikan dengan dua kurung lurus ("| |") dengan bilangan dan/atau variabel di dalamnya, misalnya |x| atau |4| atau |x - 2|.

Nilai mutlak bilangan x, dapat dinotasikan dengan |x|. Lihatlah gambar di bawah ini.

Nilai Mutlak adalah nilai suatu bilangan riil yang dihitung dari jarak bilangan itu dengan nol (0).

| x | = jarak x pada garis bilangan terhadap nol. Dari gambar pada garis bilangan di atas, dapat kita simpulkan sebagai berikut :

| 3 | = 3. Jarak bilangan 3 dari titik 0 adalah 3.

| -3 | = 3. Jarak bilangan -3 dari titik 0 adalah 3.

Keduanya memiliki nilai yang sama karena memiliki jarak yang sama jika dihitung dari titik nol. Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif.

Selanjutnya, secara umum, bentuk umum persamaan nilai mutlak dapat kita maknai sebagai berikut :

| x | = x jika nilai x ≥ 0.

| x | = -x jika nilai x < 0.

Jarak -3 dari 0 adalah 3 sehingga bisa kita nyatakan | -3 | = 3. Juga, jarak 3 dari 0 adalah 3 sehingga bisa kita tulis | 3 | = 3.

Sederhananya, nilai mutlak suatu bilangan positif adalah bilangan itu sendiri. Sedangkan nilai mutlak suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan tersebut.

Contoh:

| 7 | = 7.

| 0 | = 0.

| -7 | = - (-7) = 7.

Dari sini kita mulai paham bahwa nilai mutlak selalu bernilai positif.

Baca Juga : Materi lengkap matematika wajib kelas 11

Sifat-Sifat Nilai Mutlak

• | x | ≥ 0

Karena nilai mutlak selalu bernilai positif maka nilainya tidak pernah negatif. Nilainya selalu lebih besar atau sama dengan 0.

• | x | = | -x |

Pada pemaparan sebelumnya sudah kita pahami bahwa nilai | 3 | = 3 dan | -3 | = 3. Maka dapat disimpulkan bahwa nilai mutlak memiliki sifat | 3 | = | -3 | atau | x | = | -x |.

• | x - y | = | y - x |

Misalnya, x = 4 dan y = 2.

| x - y | = | 4 - 2 | = | 2 |.

| y - x | = | 2 - 4 | = | -2 |.

| 2 | = | -2 |.

• | x | = √| x² |

Misalnya, x = -3.

| -3 | = √| (-3)² |

| -3 | = √| 9 |

| -3 | = | 3 |

• | x |² = x²

Misalnya, x = -4.

| -4 |² = (-4)²

| 16 | = 16

• jika | x | < | y | maka x² < y²

Misalnya, x = 2 dan y = 3.

| 2 | < | 3 |.

2² < 3²

4 < 9

• | xy |=| x | × | y |

Misalnya, x = 3 dan y = -4.

| (3)(-4) | = | 3 | × | -4 |

| -12 | = |  3 | × | -4 |

12 = 3 × 4

12 = 12.

• | x/y | = | x | / | y |; dengan syarat y ≠ 0

Misalnya x = -2 dan y = 3.

| -2/3 | = | -2 | / | 3 |

2/3 = 2 / 3

• | x  - y | = | x | - | y |

Misalnya x = 2 dan y = 3.

| 2 - 3 | = | 2 | - | 3 |

• | x + y |  = | x | + | y |

Misalnya x = 3 dan y = 4.

| 3 + 4 | = | 3 | + | 4 |

7 = 3 + 4

7 = 7

Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Setelah mengetahui pemaparan di atas, mari kita bahas yang berikut ini.

Persamaan nilai mutlak linear satu variabel adalah sebuah persamaan matematika yang selalu memiliki nilai positif dan pangkat tertinggi variabelnya bernilai satu. Sehingga variabel yang ada tidak memiliki pangkat 2, 3, 4 dan seterusnya. Dengan demikian jika kita masukkan bilangan dengan range tertentu pada sebuah persamaan atau fungsi nilai mutlak maka akan menghasilkan sebuah garis yang tidak pernah berada di daerah negatif. Bentuk grafiknya akan mirip seperti huruf V dengan titik terendah adalah 0.

Fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang variabelnya berada di dalam tanda mutlak.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel

Pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel adalah sebuah pernyataan matematika yang memuat simbol pertidaksamaan ( <, >, ≤, dan ≥ ) dan selalu memiliki nilai positif serta pangkat tertinggi variabelnya bernilai satu. Sehingga variabel yang ada tidak memiliki pangkat 2, 3, 4 dan seterusnya.

Misalkan |x| adalah nilai mutlak x dan a adalah suatu bilangan real.

• Jika |x| ≤ a maka –a ≤ f(x) ≤ a
• Jika |x| ≥ a maka x ≤ –a atau x ≥ a

Contoh Soal dan Jawaban Nilai Mutlak

Contoh soal dan jawaban persamaan nilai mutlak linear satu variabel.

1. Jika | x + 2 | = 10, maka tentukan nilai x!

Jawab :

Menggunakan cara seperti defisini nilai mutlak berikut ini.

Artinya, ada dua penyelesaian, yaitu:

• Pertama

x + 2 = 10

x = 10 - 2

x = 8

• Kedua

- ( x + 2 ) = 10

-x - 2 = 10

-x = 12

x = -12

Jadi, nilai x pada persoalan tersebut adalah { 8, dan -12)

2. Jika | x + 5 | = 3, maka tentukan nilai x!

Jawab:

Menggunakan metode mengkuadratkan kedua sisi. Dan mari kita ingat persamaan berikut ini:

a² - b² = ( a + b ) ( a - b )

Pada persoalan di atas, kita misalkan x + 5 = a dan 3 = b. Maka persamaan tersebut menjadi seperti berikut ini:

| x + 5 | = 3

| a | = b

a² = b²

a² - b² = 0

( a + b ) ( a - b ) = 0

Kita kembalikan permisalan ke bentuk semula.

( x + 5 + 3 ) ( x + 5 - 3 ) = 0

• Penyelesaian pertama

x + 5 + 3 = 0

x + 8 = 0

x = -8

• Penyelesaian kedua

x + 5 - 3 = 0

x + 2 = 0

x = -2

3. | 2x + 3 | = 4

Menggunakan definisi nilai mutlak.

• Pertama

2x + 3 = 4

2x = 1

x = 1/2

• Kedua

- ( 2x + 3 ) = 4

-2x - 3 = 4

-2x = 7

x = -7/2

Mari kita coba menggunakan cara mengkuadratkan kedua sisi.

( 2x + 3 )² = 4²

( 2x + 3 )² - 4² = 0

( 2x + 3 + 4 ) ( 2x + 3 - 4 ) = 0

• Pertama

2x + 3 + 4 = 0

2x + 7 = 0

2x = -7

x = -7/2

• Kedua

2x + 3 - 4 = 0

2x - 1 = 0

2x = 1

x = 1/2

Contoh soal dan jawaban pertidaksamaan nilai mutlak linear satu variabel.

• | x + 2 | ≤ 10

Maka memiliki penyelesaian sebagai berikut:

-10 ≤ x + 2 ≤ 10

-10 - 2 ≤ x ≤ 10 - 2

-12 ≤ x ≤ 8

• | 2x + 4 | ≥ 8

Maka memiliki penyelesaian sebagai berikut:

2x + 4 ≤ –8 atau 2x + 4 ≥ 8

2x ≤ -12 atau 2x ≥ 4

x ≤ -6 atau x ≥ 2

Latihan Soal Nilai Mutlak

Setelah mempelajari materi ini beserta dengan contoh soal di atas, coba teman-teman kerjakan latihan soal di bawah ini. Lalu, coba tuliskan jawabannya di kolom komentar ya!

Jika | 2x - 2 | ≥ | 2x + 5 |, maka tentukan nilai x sebagai penyelesaian persamaan tersebut!

Baca Juga : Materi Lengkap Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat kelas 10 SMA

Kesimpulan/Penutup

Setelah membaca dan menelaah keseluruhan materi di atas, kita dapat menyimpulkan secara sederhana bahwa nilai mutlak hanya memiliki nilai positif atau nol. Ada beberapa sifat dari nilai mutlak yang sudah kita bahas di atas yang bisa kita gunakan untuk menyelesaikan permasalahan nilai mutlak.

Demikian adalah pemaparan mengenai materi lengkap nilai mutlak kelas 10 semester 1 SMA kurikulum 2013. Jika teman-teman ada yang kurang paham bisa bertanya melalui kolom komentar ya.